在 CFA 一级和二级考试的金融教育体系中，货币时间价值（TVM）是基石，而永续年金（Perpetuity）则是其中最具代表性且高频出现的考点。许多考生在备考初期容易混淆普通年金与永续年金的区别，导致在权益估值或固定收益部分丢分。本文将带你快速梳理永续年金的核心逻辑，结合Gordon 模型的应用，并通过计算器实操演练，帮助你在 10 分钟内掌握这一必考知识点。
永续年金（Perpetuity）是指无限期支付固定金额或按固定增长率增长的现金流。想象一下，你购买了一只优先股，它承诺每年支付固定的股息，且没有到期日，这就构成了一个标准的永续年金。
在 CFA 考试中，我们主要关注两种形式：
普通永续年金（Ordinary Perpetuity）：每期支付金额固定不变。
其现值计算公式非常简单：
$$PV = \frac{C}{r}$$
其中，$C$ 为每期现金流，$r$ 为折现率或要求回报率。
增长型永续年金（Growing Perpetuity）：每期支付金额以固定增长率 $g$ 增长。
这是 CFA 权益估值中的核心公式，其现值计算如下：
$$PV = \frac{C_1}{r - g}$$
注意，这里的 $C_1$ 必须是下一期的现金流，而非当前现金流。
理解这两个公式的关键在于直觉：如果你有一笔本金 $PV$，按照回报率 $r$ 投资，每年产生的利息正好是 $C$，那么这笔本金就可以无限期地支持这种支付。对于增长型年金，分母中的 $(r - g)$ 反映了净折现率，必须保证 $r > g$，否则现值将为负或无穷大，这在经济意义上是不成立的。
在 CFA 二级权益投资部分，你会频繁遇到Gordon 模型（Gordon Growth Model, GGM）。本质上，Gordon 模型就是增长型永续年金公式在股票估值中的应用。
当我们假设一家公司的股息将以恒定增长率 $g$ 无限期增长时，股票的内在价值 $P_0$ 就可以表示为：
$$P_0 = \frac{D_1}{r - g}$$
这里，$D_1$ 是预期下一年的股息，$r$ 是权益要求回报率，$g$ 是股息增长率。考生需要特别注意，题目中给出的往往是刚刚支付的股息 $D_0$，此时必须先计算 $D_1 = D_0 \times (1 + g)$ 代入公式。很多失分点就发生在忘记将 $D_0$ 转化为 $D_1$ 上。
为了巩固理解，我们通过一道典型例题来演练。
例题：
某公司刚刚支付了每股 2.00 美元的股息（$D_0$）。分析师预计该公司股息将以每年 5% 的速度永续增长。已知该股票的要求回报率为 10%。请问该股票的内在价值是多少？
解题思路：
这是一个典型的增长型永续年金问题。我们需要使用 Gordon 模型。
1. 确定 $D_0 = 2.00$。
2. 计算 $D_1 = 2.00 \times (1 + 5\%) = 2.10$。
3. 代入公式 $PV = 2.10 / (10\% - 5\%)$。
BA II Plus 计算器操作步骤：
虽然永续年金通常直接通过公式计算，但熟悉计算器操作能提高考试效率。
2 . 0 0 × 1 . 0 5 =，屏幕显示 2.1。÷。( 1 0 - 5 ) ) =。注意括号的使用，确保先算减法。42。因此，该股票的内在价值为 42.00 美元。
备考工具推荐：
如果你正在使用 iOS 设备进行备考，没有随身携带物理计算器，推荐使用 RBA Calculator（TI BA II Plus iOS 应用）。它能完美模拟 CFA 考场允许的 Texas Instruments BA II Plus 计算器界面，方便你随时随地练习上述操作步骤。你可以在 App Store 下载：https://apps.apple.com/cn/app/id1545331477。熟悉这款应用能确保你在机考环境下手感一致。
在 CFA 考试真题中，关于永续年金的陷阱非常多，以下是考生最容易犯的三个错误：
现金流时间点错误：
公式 $PV = C_1 / (r - g)$ 中的 $C_1$ 必须是第一期期末的现金流。如果题目给出的是“当前时刻”支付的金额（$C_0$ 或 $D_0$），必须乘以 $(1+g)$ 进行调整。直接使用 $C_0$ 会导致估值偏低。
增长率与折现率大小关系：
在使用增长型永续年金公式时，必须满足 $r > g$。如果题目中出现 $g \geq r$ 的情况，该模型失效，不能使用此公式计算现值。这在逻辑上意味着增长速度快于回报要求，现值将趋向无穷大，现实中不存在此类资产。
混淆普通年金与永续年金：
普通年金（Annuity）有固定的期数 $N$，而永续年金 $N$ 趋向于无穷大。有些题目会描述为“前 10 年支付 X，之后永续支付 Y"，这类混合现金流不能直接套用单一公式，需要分段计算现值后加总。
Q1：永续年金和普通年金有什么区别？
A：普通年金有明确的结束时间（例如 30 年房贷），而永续年金假设支付无限期持续。在公式上，普通年金涉及 $(1 - (1+r)^{-N}) / r$，当 $N$ 趋向无穷大时，$(1+r)^{-N}$ 趋向于 0，公式简化为 $1/r$，即永续年金公式。
Q2：为什么 Gordon 模型中 g 必须小于 r？
A：这是数学和经济学的双重约束。数学上，若 $g \geq r$，分母为零或负数，现值无意义。经济上，任何公司的增长率不可能长期超过整个经济体的增长率或资本成本，否则其市值将超过全球 GDP，这显然不合理。
Q3：如果使用 BA II Plus 计算器，能否用 TVM 键直接算永续年金？
A：理论上可以，但非常不推荐。你可以将 $N$ 设为一个很大的数字（如 999），$FV$ 设为 0，输入 $PMT$ 和 $I/Y$ 计算 $PV$。但由于精度限制，这种方法不如直接使用公式准确且耗时。建议记忆公式手动计算或结合计算器算术功能。
Q4：永续年金在 CFA 哪些科目会出现？
A：最主要的是 Level 1 的 Quantitative Methods 和 Equity Investments。在 Level 2 的 Corporate Issuers 和 Equity Valuation 中，Gordon 模型更是核心工具。此外，在固定收益中计算优先股价值时也会用到普通永续年金公式。
掌握永续年金不仅是通过 CFA 考试的关键，更是理解金融资产定价逻辑的起点。从简单的 $PV = C/r$ 到复杂的 Gordon 模型，核心在于理解现金流的时间价值与增长预期。希望本文的速成指南能帮助你理清思路，结合 RBA Calculator 等工具勤加练习，避免常见陷阱。祝各位考生在 CFA 备考之路上一臂之力，顺利通关！