零息债券（Zero Coupon Bond）：CFA考试知识点串联与综合出题分析

一、什么是零息债券？

零息债券（Zero Coupon Bond）是一种不支付定期利息的债务工具，投资者在持有期间不会收到任何票息（coupon payment），而是在债券到期时一次性获得面值（Face Value / Par Value）。正因为没有中间现金流，零息债券通常以折价发行（Discount Issuance），即发行价格低于面值，面值与发行价之间的差额就是投资者的全部收益。

核心特征

零息债券的定价本质上就是对未来面值的现值计算，这使其成为理解折现率、时间价值概念的绝佳工具。在CFA一级Fixed Income部分，零息债券虽篇幅不大，但出题频率不低，且常与其他知识点串联考查。

二、CFA考试如何综合出题？

知识点串联地图

在CFA考试中，零息债券很少"孤立"出现，常见的串联方式包括：

1. 零息债券 + 折现率/收益率：考查YTM（到期收益率）与折现率的关系，以及不同复利频率下的定价差异。
2. 零息债券 + 利率风险/久期：由于零息债券的Macaulay Duration等于到期期限，凸性（Convexity）也最容易被推导，常与有息债券做久期对比。
3. 零息债券 + 税收/实际收益率：考查隐含利息（Imputed Interest）的税务处理，以及实际收益率（Real Rate of Return）的计算。
4. 零息债券 + 组合管理：作为免疫策略（Immunization）中的基础工具，考查目标日期的匹配。

典型出题角度

• 给定面值和到期日，计算折价发行价格
• 给定买入价和到期日，计算YTM
• 比较零息债券与附息债券的利率敏感性
• 计算零息债券的凸性
• 多期零息债券（如STRIPS）的估值

三、计算例题与BA II Plus操作步骤

例题

某投资者以 $756.14 的价格购买一张 $1,000面值 的零息债券，剩余期限 5年，采用半年复利（Semi-annual Compounding）。

要求：
1. 计算该零息债券的到期收益率（YTM）
2. 若市场利率上升50个基点，债券价格变为多少？

解题思路

零息债券定价公式：

$$P = \frac{FV}{(1 + r)^n}$$

其中：
- P = 价格（$756.14）
- FV = 面值（$1,000）
- r = 每期收益率
- n = 总期数（5年 × 2 = 10期）

第一部分：计算YTM

$$756.14 = \frac{1000}{(1 + r)^{10}}$$

$$(1 + r)^{10} = \frac{1000}{756.14} = 1.3225$$

$$1 + r = 1.3225^{1/10} = 1.0280$$

$$r = 2.80\% \text{（每期）}$$

$$YTM = 2.80\% \times 2 = \mathbf{5.60\%}$$

BA II Plus 操作步骤

步骤：
1. 按 [2ND] [CLR WORK] 清除存储器
2. 输入 N：按 [5] [×] [2] [=] → 显示10，按 [N]
   或直接按 [1] [0] [N]
3. 输入 PV：按 [7] [.] [5] [6] [.] [1] [4] [+/–] [PV]
   （输入为负数表示现金流出）
4. 输入 PMT：按 [0] [PMT]
   （零息债券无票息）
5. 输入 FV：按 [1] [0] [0] [0] [FV]
6. 按 [CPT] [I/Y]
   → 显示：2.80
7. YTM = 2.80% × 2 = 5.60%

💡 推荐工具：如果你使用iPhone或iPad备考，强烈推荐使用 RBA Calculator（模拟TI BA II Plus的iOS应用），界面与实体计算器完全一致，支持TVM、债券、现金流等全部功能，随时随地练习不手生。

第二部分：利率上升后的价格

市场利率上升50个基点，新YTM = 5.60% + 0.50% = 6.10%

每期收益率 r = 6.10% / 2 = 3.05%

$$P_{new} = \frac{1000}{(1.0305)^{10}} = \frac{1000}{1.3493} = \mathbf{\$741.14}$$

BA II Plus操作：

1. [2ND] [CLR WORK]
2. [1] [0] [N]
3. [0] [PMT]
4. [1] [0] [0] [0] [FV]
5. [6] [.] [1] [0] [÷] [2] [=] → 3.05，按 [I/Y]
6. [CPT] [PV]
   → 显示：-741.14

价格变动：$756.14 → $741.14，下跌 $15.00

四、零息债券的久期与凸性

久期（Duration）

零息债券的Macaulay Duration = 到期期限 = 5年

Modified Duration = 5 / (1 + 0.028) ≈ 4.864

用久期预测价格变动：

$$\Delta P \approx -Modified\ Duration \times \Delta y \times P = -4.864 \times 0.005 \times 756.14 = -18.37$$

实际价格变动 vs 久期预测

零息债券的凸性（Convexity）公式：

$$Convexity = \frac{n(n+1)}{(1+r)^2} = \frac{10 \times 11}{(1.028)^2} = 103.37$$

加入凸性修正后：

$$\Delta P \approx -18.37 + \frac{1}{2} \times 103.37 \times (0.005)^2 \times 756.14 = -18.37 + 0.99 = -17.38$$

精确计算结果为-$15.00，差异仍较大，说明利率变动幅度较大时，需要更完整的定价模型。

五、常见错误提醒 ⚠️

错误1：混淆期数与年数

错误做法：直接输入N=5（年数），而非N=10（期数）

正确做法：半年复利时，N = 年数 × 2 = 10。I/Y算出的是每期利率，需要乘以2得到年化YTM。

错误2：PMT忘记设为0

错误做法：在BA II Plus中遗留上题的PMT值

正确做法：零息债券务必手动输入PMT=0，或使用[2ND][CLR WORK]清除所有记忆。

错误3：忽略复利频率

错误做法：题目说"年复利"，却按半年复利计算

正确做法：仔细阅读题目中关于复利频率（Compounding Frequency）的说明。不同频率会影响折价幅度：
- 年复利：$P = FV / (1+r)^n$
- 半年复利：$P = FV / (1+r/2)^{2n}$
- 连续复利：$P = FV \times e^{-rn}$

错误4：PV符号忘记取负

错误做法：PV输入正数，导致CPT I/Y报错

正确做法：PV（购买价格）为现金流出，输入时按[+/–]取负号。

六、零息债券 vs 附息债券对比

七、FAQ

Q1：零息债券是否完全没有风险？

A： 恰恰相反。零息债券虽然没有信用风险（政府发行的）和再投资风险，但利率风险最大。因为所有现金流集中在到期日，久期等于到期期限，利率微小变动会导致价格大幅波动。

Q2：折价发行的零息债券，YTM一定高于票面利率吗？

A： 零息债券的票面利率为0%，所以YTM永远大于票面利率。对于附息债券而言，折价发行意味着YTM > 票面利率，这是判断债券定价状态的基本规则。

Q3：CFA考试中零息债券的凸性需要手动计算吗？

A： 通常不需要。考试中更常见的是考查你对"零息债券凸性最大"这一定性结论的理解，以及用它来解释为什么久期近似在高利率变动时会产生误差。如果确实要求计算，使用公式 $Convexity = n(n+1)/(1+r)^2$ 即可。

Q4：STRIPS是什么？与零息债券有什么关系？

A： STRIPS（Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities）是将附息债券的票息和本金分别剥离，形成多张零息债券的交易方式。每张STRIPS本质上就是一张零息债券，在CFA考试中偶尔会出现在Fixed Income或Derivatives部分。

八、备考建议

零息债券在CFA一级中属于"小而精"的知识点，建议：

1. 掌握定价公式：$P = FV/(1+r)^n$，这是所有零息债券计算的根基
2. 熟练操作BA II Plus：TVM功能必须做到盲操，考试中时间宝贵
3. 理解久期=到期期限：这一定性结论在多选题中高频出现
4. 练习不同复利频率：年复利、半年复利、连续复利的转换要熟练
5. 结合利率风险理解：零息债券是理解Duration和Convexity的最佳载体

推荐在手机上安装 RBA Calculator，利用碎片时间反复练习TVM计算，确保考试时操作零失误。零息债券看似简单，但正是这些"基本概念"构成了CFA Fixed Income模块的基石——扎实掌握，后续学习附息债券、收益率曲线、免疫策略等内容才能事半功倍。