在 CFA 一级考试的金融知识体系中，货币的时间价值（Time Value of Money, TVM）是最基础的基石。而在 TVM 的众多概念中，永续年金（Perpetuity）是一个既简单又至关重要的特殊案例。它不仅出现在固定收益证券的定价中，更是权益估值模型的核心组成部分。对于初学者而言，彻底理解永续年金的逻辑，意味着你掌握了通往更复杂金融模型的大门。本文将从零开始，带你详解这一概念，并结合计算器操作与常见误区，帮助你高效备考。
简单来说，永续年金是指一系列无限期持续支付的等额现金流。想象一下，你购买了一种特殊的债券，它承诺永远每年支付给你固定的利息，且本金永不偿还。这就是典型的永续年金。
在 CFA 考试中，我们主要关注两种形式：
对于普通永续年金，其现值（PV）的计算公式非常简洁：
$$PV = \frac{C}{r}$$
其中，$C$ 代表每期支付的固定现金流，$r$ 代表折现率或必要回报率。这个公式的直观含义是：如果你有一笔本金 $PV$，将其存入银行，每年获得利息 $C$，且本金不动，那么这笔本金的价值就是 $C/r$。
在现实金融世界中，完全不变的现金流很少见。大多数公司股利或租金都会随着通货膨胀或业务增长而增加。这就引出了Gordon 模型（Gordon Growth Model），也称为不变增长模型。
当永续年金以固定比率 $g$ 增长时，其现值公式变为：
$$PV = \frac{C_1}{r - g}$$
这里有一个至关重要的前提条件：$r$ 必须大于 $g$。如果增长率 $g$ 超过或等于折现率 $r$，现值将趋于无穷大，这在经济学上是不合理的。Gordon 模型是 CFA 权益投资部分的核心工具，用于估算股票的理论价值。理解从普通永续年金到 Gordon 模型的演变，能帮助你更好地记忆公式。
理论需要实践来巩固。下面我们通过一个具体的 CFA 风格例题，演示如何使用德州仪器 BA II Plus 计算器进行求解。对于没有实体计算器的考生，也可以使用 iOS 端的 RBA Calculator 应用，其操作逻辑与实体机一致，方便随时练习。你可以在 App Store 下载：RBA Calculator。
假设某优先股（Preferred Stock）承诺每年支付 5 美元的固定股利，且该支付将无限期持续。投资者要求的必要回报率为 6%。
1. 求该优先股的当前理论价格。
2. 若股利每年增长 2%，价格又是多少？
由于 BA II Plus 计算器没有直接的“永续”按键，我们需要利用 TVM 模块的原理。永续意味着 $N$ 趋向于无穷大。在计算器上，我们可以输入一个足够大的数字来近似无穷大，通常 $N=999$ 即可满足精度要求。
2nd -> CLR TVM，清除之前存储的 TVM 变量。999，按 N 键。6，按 I/Y 键（注意不需要输入百分号）。5，按 PMT 键（因为是支出/收入方向，通常设为正数，PV 结果会自动为负数表示成本，反之亦然，考试时关注绝对值）。0，按 FV 键（永续年金没有本金偿还，终值为 0）。CPT -> PV。-83.33。这意味着理论价格为 $83.33。计算器无法直接计算 $C_1 / (r - g)$，我们需要先利用计算器完成分母的计算，再完成除法。
6 -> - -> 2 -> =，得到 4（即 $r-g$ 的百分比形式）。÷ -> 100 -> =，得到 0.04。÷ -> 5 -> =（注意顺序，是 5 除以 0.04）。125。理论价格为 $125。在 CFA 考试中，关于永续年金的计算陷阱非常多，考生务必警惕以下几点：
时间点混淆：
Gordon 模型公式 $PV = \frac{C_1}{r - g}$ 计算出的现值位于 $C_1$ 的前一期（即 $t=0$ 时刻）。如果题目给出的是 $C_0$（刚刚支付的股利），你必须先用 $C_0 \times (1+g)$ 算出 $C_1$ 再代入公式。这是最常见的扣分点。
增长率与折现率的关系：
永远检查 $r > g$。如果在题目中遇到 $g \geq r$，说明模型不适用，或者题目隐含了多阶段增长模型的前提，不能直接套用单阶段 Gordon 模型。
计算器 N 的设置：
在使用 BA II Plus 近似计算时，有些考生习惯设 $N=100$。虽然在低利率下误差不大，但在高利率或高精度要求下，建议设为 999 或更大，以确保 PV 值稳定。
现金流方向：
计算器会显示负号的 PV 值，代表现金流出（投资成本）。在选择题中，通常取绝对值。不要因为没有负号而误以为计算错误。
Q1: 永续年金和定期年金（Annuity）有什么区别？
A: 定期年金有固定的终止时间（N 是有限的），而永续年金（Perpetuity）假设支付无限期继续（N 趋向于无穷）。在计算上，年金需要计算 PVA 公式，而永续年金可以直接用 $C/r$ 简化计算。
Q2: 为什么 Gordon 模型中 r 必须大于 g？
A: 从数学角度看，如果 $r \leq g$，分母为零或负数，现值无意义或为负。从经济学角度看，如果一家公司的增长率永远高于资本成本，它最终将超过整个经济体的规模，这是不可能的。因此长期来看，$r$ 必须大于 $g$。
Q3: 没有 BA II Plus 实体机，可以用手机替代吗？
A: 在 CFA 机考中，官方提供屏幕计算器。但在备考阶段，熟悉 BA II Plus 的按键逻辑非常重要。对于 iOS 用户，RBA Calculator 是一个很好的替代工具，它能模拟真实按键手感，帮助肌肉记忆形成。你可以访问 此处下载 进行练习。
Q4: 永续年金在现实中有例子吗？
A: 最典型的例子是英国的统一公债（Consols）和某些优先股（Preferred Stock）。它们承诺支付固定股利且没有到期日，完美契合永续年金的定义。
掌握永续年金及其变体 Gordon 模型，不仅是通过 CFA 一级金融数学部分的关键，更是理解资产定价逻辑的起点。希望本文通过概念拆解、计算器实操以及误区警示，能为你的备考之路提供清晰的方向。记住，公式是死的，但背后的金融直觉是活的。多做题，多熟悉 BA II Plus 或 RBA Calculator 的操作，你一定能在这个知识点上拿到满分。祝备考顺利！